「會動的幾何題」：用動態思考解大考數學幾何題

本文對應程度：「中前段」學測數A／分科測驗數甲考生

「會動的幾何題」是近年升大學考試中頻繁出現的題目，它很難掌握，也又不容易設計，我們平常寫練習題不容易練習到，以致難以學到其精髓。

本篇文章，就是要來分析這一類漂亮卻又坑人的題目。

※注意：本文將引用一些考古題來講解，如果是還沒有寫過這些題目的考生，建議可以先自己練習過再來閱讀喔！

什麼是「會動的幾何題」？（例：103指考數甲：多選9）

我們在國高中練習的幾何題，多半是給定一些條件，可能是邊長、角度等，要我們求出其他的邊長或角度。這種問題難度不會太高，只要對課本的公式足夠熟悉，就算是硬爆，也可以得到答案。

「會動的幾何題」，意思就是，這個題目給定的條件是「不夠」的，導致這題的圖不會只有一種，所以邊長、角度不會是一個定值，這時多選題就會推出這種選項：

• 角$A$可能是40度
• $\overline{AB}$的長度可能是3
• $\sin\theta>\frac13$
• 直線$L$可能和圓$O$有交點

諸如此類「可能」「最小(大)」的敘述，如果我們沒有辦法直接求出一個值，判斷上就會非常困難。

我們直接來看一個大考出過的題目。

【103指考數甲：多選9】

這裡的重點是選項(3)(4)。$x$是一個邊長，但並不是固定的，所以我們沒有辦法像一般的題目一樣，用一些定理公式求出$x$的值。

許多同學遇到這個題目時，就先畫了一個略圖：

然後，就沒有然後了。

我們平常很習慣畫這種示意圖，然而這張圖有一個致命傷。

這個題目給定的條件中，三角形$ABC$是確定的(因為三邊長已經給定)，所以畫好三角形$ABC$沒有問題。

問題在於點$D$。點$D$滿足的條件是：

• $CD$=3
• $ABCD$是凸四邊形

顯然，滿足這樣條件的點$D$不會只有一個，而是有無窮多個。第一個條件告訴我們，$D$到$C$的距離是3，所以我們應該「以$C$為圓心，3為半徑，畫一個圓」，圓周上的點就是點$D$可能的位置。而因為要讓$ABCD$是凸四邊形，所以最後只能取出以下這一段圓弧：

因此，我們應該想像成，$D$是這個圓弧上的「動點」，在$D$移動的時候，邊長$x=\overline{AD}$是「圓外一點到圓上動點」的距離。

由此，我們就可以用我們在直線與圓這個單元中學過的觀念：與$A$最近的是「直徑貫穿圓心」，此時$x=4-3=1$；與$A$最遠的點由於不在圓弧範圍內，所以最遠就是盡可能遠，也就是上圖右下角的頂點處。當$D$放在該頂點處時，用餘弦定理可以算出$x=\frac{13}{2}$，所以我們就得到結論：$1<x<\frac{13}{2}$。

解法的精神

上面我們示範的解法中，我們並不是「畫一張圖」來解，而是「把所有可能的圖都找出來」。

因此，一開始「畫一張圖」的致命傷就是，那只是眾多可能中的其中一種可能圖案，想要從一種可能推出其他無窮多種可能，猶如以管窺天，以蠡測海，容易遺漏非常多資訊。

因此，面對這樣的幾何題，我們應該用「我全都要」的精神：我要找到所有的可能性。

說起來容易，做起來需要非常深厚的功夫。一般而言，步驟如下：

• 先確定哪些物件不會動。例如上面例子中，三角形$ABC$已經固定。
  （如果沒有的話，通常就先固定某兩個點就好，如同指定了數線的原點和單位長）
• 其他點滿足怎樣的條件，而「所有」滿足這種條件的點在哪裡？（找軌跡）
  （高中學過的圖形有直線、圓、二次曲線，所以基本上就只有這幾種可能）

以下，我們就用幾個考古題，來講解這個技術。

110學測數學：多選10（三角形形狀的確定）

這一題雖然可以用一些全等性質、正弦或餘弦定理來判斷，但我們這邊示範，如何用動態思考解決。

【解】

在看任何一個選項之前，我們先關注題目的條件。

如果我們固定住點$A$和$B$，這時，點$C$滿足的條件就是「$\overline{AC}=6$」，因此其軌跡就是以$A$為圓心，$6$為半徑的圓：

（其實應該要去掉兩個點，也就是直線$AB$延長線與圓的交點，不過不會影響）

選項(1)

給定$\cos A$其實就是給定角$A$。設想，如果給定$\angle A=20^\circ$(或任何角度$\theta$)，那角$A$的軌跡為何？

答案是以$A$為端點的兩條射線。

所以，給定角$A$後，$C$就只有兩個可能$C_1,C_2$，而它們是對稱的，所以這樣得到的兩個三角形$ABC$的形狀相同，故選項(1)正確。

選項(2)

與選項(1)原因相同，正確。

選項(3)

這次給定的是角$C$，因此我們必須思考，所有滿足$\angle C=\theta$的點$C$形成什麼軌跡？

這個比較困難一些，我們可以先用例子思考：

如果$\angle C=90^\circ$，那麼$C$形成的圖形會是「以$\overline{AB}$為直徑的圓」，因為「直徑對應的圓周角是直角」：

而如果是其他角度，用類似於「圓周角相等」的性質，也可以得到軌跡是兩段圓周：

這是基於以下這個性質的結果：

設$A,B$是相異兩點，且$C,D$在直線$AB$的同側。若$\angle ACB= \angle ADB$，則$A,B,C,D$四點共圓。

由於高中沒有特別提及這個性質，這裡就不特別證明，有興趣的同學可以思考如何證明。

OK，所以我們知道，固定角$C$後，$C$所成的圖形是兩個對稱的圓弧，將它和一開始畫的圓放在一起，最多可以交出四個點：

由於上下對稱，所以只需看上半部，此時$C_1$、$C_2$就給出了不同的三角形$ABC$，所以這個選項不正確。

由於上面的方法比較困難，這裡也可以「換個主角」來想：前面我們是固定$A$和$B$去變動$C$，這裡改成固定$A$和$C$來變動$B$。因為題目條件是$\overline{AB}=4$，所以$B$的軌跡也是圓：

如此，再加上「固定角$C$」這個條件時，點$B$又形成什麼軌跡呢？

這就和前兩個選項一樣，點$B$的軌跡是以$C$為端點的兩條射線：

因此，因為直線和圓最多可以交於兩點，這樣就得到最多四個交點。同理，根據對稱，我們只須關注上半部的$B_1$和$B_2$，而這兩個點就給出兩個不同的三角形$ABC$。所以選項(3)錯誤。事實上，這就是一般教材中提及的「SSA」情形的處理方式。

選項(4)

如果考慮使用「面積$=\frac12 \overline{AB}\cdot\overline{AC}\sin A$」，那麼給定面積就相當於給定了角$A$的sin，但給定sin之後，角$A$仍有兩種互補的可能。這時，$C$形成什麼軌跡？

按照前面幾個選項的方法，整合起來，$C$形成的軌跡會是兩組完整的「直線」：

同理，$C_1$和$C_2$各給出了一種可能的形狀。

我們也可以改成使用「面積$=\frac12$底$\times$高」，將$\overline{AB}$當底，則高就是點$C$到直線$AB$的垂直距離，所以給定面積，相當於給定$C$到直線$AB$的垂直距離，這樣的$C$又形成什麼軌跡？

答案是，與$AB$平行的兩條直線：

同樣，可以看出有兩種可能的三角形$ABC$。

選項(5)

這次的條件是「固定外接圓半徑」，因此可以利用正弦定理：$2R=\frac{\overline{AB}}{\sin C}$，所以給定$R$等同於給定$\sin C$，這樣$C$又有兩種互補的可能。利用選項(3)的方法，這次$C$會形成兩個完整的圓（這裡就省略圖了，讀者可以自己試試看）。

同樣，我們可以換個角度想：假如我們先固定好一個圓作為外接圓，在這個圓上取兩點$A,B$，那麼點$C$就要落在以$A$為圓心，6為半徑的圓上，兩個圓可能有兩交點，所以有兩種不同的三角形$ABC$。

故選(1)(2)。

延伸思考：

承接同一個題幹，下列還有哪些條件可以確定三角形$ABC$？

• 給定三角形$ABC$的面積，且這個面積等於12
• 給定三角形$ABC$的內切圓半徑
• 三角形$ABC$是等腰三角形

110試辦學測：多選9-選項(4)(5)（外接圓的變化）

這題的條件和上面那一題相同，所以我們同樣固定$A,B$，這樣$C$可以在一個圓上變動。

首先，利用正弦定理，$2R=\frac{\overline{AC}}{\sin B}=\frac{3}{\sin B}$，所以$R$至少是$\frac32$，因此選項(4)錯誤。那麼，下一個問題是，是不是所有$\geq\frac32$的數字，都可以當作$R$呢？換言之，$\sin B$是不是從$0$到$1$的所有數字都取得到？

答案是肯定的，因為我們的$C$在圓上移動，這就讓$\angle B$可以從$0^\circ$到$180^\circ$都可以發生，這樣一來，$R$就可以是任何$\geq\frac32$的數字。

設想$C$在圓上變動時，外接圓的大小會如何改變呢？

用一個geogebra動畫來感受一下吧：https://www.geogebra.org/m/kxapmwhm

108指考數甲：多選4（圓過兩點）

這一題的條件是「圓過兩點」，我們學過，當圓過兩點，圓心就會落在這兩點的中垂線上。因此，這一題的圓心可以在整條中垂線上變動，而圓心越遠，半徑就越大。

因此，$\Gamma$的半徑最小時，就是圓心恰好落在這兩個點的中點的時候。這樣就可以完成選項(1)(2)。

選項(4)則直接從圖就看得出來不對。而選項(5)則須計算這條直線和$y$軸的交點，也不困難。

最後，選項(3)的$x+2y=6$是另一條直線，它沒有通過這兩個點，所以想像上，只要我們讓圓心「越來越遠」，終究這個圓是不會碰到這條線的。

如圖，若$T$是中垂線和$x+2y=6$的交點，這時圓還會碰到$x+2y=6$(事實上會相切)，而只要我們再把圓心往上拉，就不會碰到了。

小結

上面我們看了一些「圖形不固定」的例子。在做這些題目的時候，如果一開始只畫了一張圖，就很容易卡關，陷入找不到條件的泥沼。因此我們介紹了「動態思考法」，不要只畫出一張圖，而是試圖找出所有的可能，這樣就能一網打盡，看得更遠。

當然，有時候找軌跡相當困難，這時自己嘗試多畫幾種例子出來，也是一個幫助觀察的方法。最起碼，我們要認知到圖不只一種，最好多看幾種，才不會輕易上鉤。

避免文章過長，這次就只舉這幾個例子作為示範。歷屆試題中，還有好一些這樣的題目，讀者可以參考以下幾題，以及本站提供的詳解（學測、指考與分科測驗）：

【109指考數甲：多選4】（線性組合比大小）

【107指考數甲：多選7】（複數平面繞圈圈）

【102指考數甲：選填B】（交點在不同象限）

【111學測數A：多選9選項(5)】（不給係數的線性組合）

【110學測數學：多選11】（梯形藏了雙曲線）

【106學測數學：多選9】（一點圓內一點圓外）

【102學測數學：多選10】（各種曲線上算內積）

當然，這種做法有一定的難度，也未必所有條件都能輕鬆的畫出軌跡，但不失為一種思考的方向。

以上是這次的分享，希望對大家有幫助，也歡迎提出討論與你的看法。